Se dice que una transformaci6n conforme f del disco unidad D del plano complejo en si mismo es hiperbolicamente convexa si el segmento de recta hiperbolica que une cualquier par de puntos de f (D) esta a su vez contenido en f (D). En este trabajo estudiaremos algunas cantidades relacionadas con estas funciones que no permanecen invariantes bajo los automorfismos conformes de D, a saber, la derivada, el modulo de continuidad y los coeficientes de la expansion en serie de Taylor alrededor del origen. Estudiaremos ademas los dominios con cuspides, los cuales son, probablemente, extremales para varios problemas.