Abstract In this article, we will study a class of pseudo-differential operators on p -adic numbers, which we will call p -adic Bessel $$\alpha $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:math> -potentials. These operators are denoted and defined in the form $$\begin{aligned} (\mathcal {E}_{\varvec{\phi },\alpha }f)(x)=-\mathcal {F}^{-1}_{\zeta \rightarrow x}\left( \left[ \max \{1,|\varvec{\phi }(||\zeta ||_{p})|\} \right] ^{-\alpha }\widehat{f}(\zeta )\right) , \text { } x\in {\mathbb {Q}}_{p}^{n}, \ \ \alpha \in \mathbb {R}, \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>ϕ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi>F</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>ζ</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfenced> <mml:msup> <mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>max</mml:mo> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>ϕ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>ζ</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mo>}</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mover> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>^</mml:mo> </mml:mover> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>ζ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> where f is a p -adic distribution and $$\left[ \max \{1,|\varvec{\phi }(||\zeta ||_{p})|\}\right] ^{-\alpha }$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>max</mml:mo> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>ϕ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>ζ</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mo>}</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> is the symbol of the operator. We will study some properties of the convolution kernel (denoted as $$K_{\alpha }$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> ) of the pseudo-differential operator $$\mathcal {E}_{\varvec{\phi },\alpha }$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>ϕ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> , $$\alpha \in \mathbb {R}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> ; and demonstrate that the family $$(K_{\alpha })_{\alpha &gt;0}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> determines a convolution semigroup on $$\mathbb {Q}_{p}^{n}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msubsup> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msubsup> </mml:math> . Furthermore, we will introduce new types of Feller semigroups, and explore new Markov processes and non-homogeneous initial value problems on p -adic numbers.