Abstract Let N be an n -dimensional compact riemannian manifold, with $$n\ge 2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:math> . In this paper, we prove that for any $$\alpha \in [0,n]$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mo>[</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow></mml:math> , the set consisting of homeomorphisms on N with lower and upper metric mean dimensions equal to $$\alpha $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>α</mml:mi></mml:math> is dense in $$\text {Hom}(N)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mtext>Hom</mml:mtext><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math> . More generally, given $$\alpha ,\beta \in [0,n]$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mo>[</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow></mml:math> , with $$\alpha \le \beta $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow></mml:math> , we show the set consisting of homeomorphisms on N with lower metric mean dimension equal to $$\alpha $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>α</mml:mi></mml:math> and upper metric mean dimension equal to $$\beta $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>β</mml:mi></mml:math> is dense in $$\text {Hom}(N)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mtext>Hom</mml:mtext><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math> . Furthermore, we also give a proof that the set of homeomorphisms with upper metric mean dimension equal to n is residual in $$\text {Hom}(N)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mtext>Hom</mml:mtext><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math> .