UDC 517.9 Let <mml:math> <mml:mrow> <mml:mo form="prefix">(</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> be a pair of quasidefinite and symmetric linear functionals with <mml:math> <mml:mrow> <mml:mo form="prefix">{</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mo>}</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> and <mml:math> <mml:mrow> <mml:mo form="prefix">{</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mo>}</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> as respective sequences of monic orthogonal polynomial (SMOP). We define a sequence of monic polynomials <mml:math> <mml:mrow> <mml:mo form="prefix">{</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mo>}</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> as follows: <mml:math> <mml:mtable class="m-equation-square" displaystyle="true" style="display: block; margin-top: 1.0em; margin-bottom: 2.0em"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mspace width="6.0em" /> </mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mfrac linethickness="1"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>'</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo form="prefix">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mfrac linethickness="1"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>'</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo form="prefix">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mfrac> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo form="prefix">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo form="prefix">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace width="1.00em" /> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>1.</mml:mn> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> We give necessary and sufficient conditions for <mml:math> <mml:mrow> <mml:mo form="prefix">{</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mo>}</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> to be orthogonal with respect to a quasidefinite linear functional <mml:math> <mml:mrow> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mo>.</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> In addition, we consider the case where <mml:math> <mml:mrow> <mml:mo form="prefix">{</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mo>}</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> and <mml:math> <mml:mrow> <mml:mo form="prefix">{</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mo>}</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> are monic Chebyshev polynomials of the first and second kinds, respectively, and study the relative outer asymptotics of Sobolev polynomials orthogonal with respect to the Sobolev inner product<mml:math> <mml:mtable class="m-equation-starred" displaystyle="true" style="display: block; margin-top: 1.0em; margin-bottom: 2.0em"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mspace width="6.0em" /> </mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mo form="prefix">〈</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:msub> <mml:mo>〉</mml:mo> <mml:mi>S</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:munderover> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:mn>-1</mml:mn> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:munderover> </mml:mstyle> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo form="prefix">(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>ⅆ</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:munderover> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:mn>-1</mml:mn> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:munderover> </mml:mstyle> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>'</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>'</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo form="prefix">(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>ⅆ</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:munderover> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:mn>-1</mml:mn> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:munderover> </mml:mstyle> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>'</mml:mo> <mml:mo>'</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>'</mml:mo> <mml:mo>'</mml:mo> <mml:mo>ⅆ</mml:mo> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo form="prefix">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> where <mml:math> <mml:mrow> <mml:mi>μ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> is a positive Borel measure associated with <mml:math> <mml:mrow> <mml:mi>w</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> and <mml:math> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> <mml:math> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> is a linear polynomial of <mml:math> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>.</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math>