Abstract Let A , B be disjoint sets such that $$A\cup B= [1,2n]\subset {\mathbb {Z}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo>∪</mml:mo> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>]</mml:mo> <mml:mo>⊂</mml:mo> <mml:mi>Z</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> and $$\vert A\vert = \vert B\vert = n$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> . Let us call $$m (A, B)=\max _{t \in {\mathbb {Z}}}\vert (t+B)\cap A \vert $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mo>max</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>Z</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>∩</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> and consider $$M(n):=\min \limits _{(A,B)} m(A,B)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:munder> <mml:mo>min</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> (over all partitions with $$A \cup B=\left[ 1,2n\right] $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo>∪</mml:mo> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mfenced> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> ). There are well-known upper and lower bounds of M ( n ). In this paper we studied a variation of this problem, i.e. we considered a finite abelian group G with $$\vert G \vert =k$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , we define M ( G ) which is analogous to M ( n ) and we obtained upper and lower bounds for M ( G ).