Abstract Two types of p -adic pseudo-differential operators (denoted, respectively, by $${\mathcal {T}}_{{\varvec{f}}_{1},{\varvec{f}}_{2}}^{l}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msubsup> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mi>l</mml:mi> </mml:msubsup> </mml:math> and $${\mathcal {J}}_{{\varvec{f}}_{1},{\varvec{f}}_{2}}^{\alpha }$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msubsup> <mml:mi>J</mml:mi> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:msubsup> </mml:math> ) are introduced in this article. We will show that the operator $${\mathcal {T}}_{{\varvec{f}}_{1},{\varvec{f}}_{2}}^{l}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msubsup> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mi>l</mml:mi> </mml:msubsup> </mml:math> determines certain Feller semigroups and stochastic processes with state space the p -adic numbers. The second type of these operators (defined on a new class of p -adic Sobolev space) are connected with contraction semigroups and parabolic pseudo-differential equations.