Abstract The aim of this paper is to study the algebraic structure of the space $$R(\Gamma _{n,m})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>Γ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> of representations of the torus knot groups, $$\Gamma _{n,m}=\left\langle x,y:x^{n}=y^{m}\right\rangle$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>Γ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mfenced> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msup> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> , into the linear special group $$SL(2,{\mathbb {C}})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> .