Abstract In this paper, we investigate the existence and uniqueness of $$(\omega ,Q)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>ω</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> -periodic mild solutions for the following problem $$\begin{aligned} x'(t)=Ax(t)+f(t,x(t)),\quad t\in \mathbb {R}, \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> on a Banach space X . Here, A is a closed linear operator which generates an exponentially stable $$C_0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:math> -semigroup and the nonlinearity f satisfies suitable properties. The approaches are based on the well-known Banach contraction principle. In addition, a sufficient criterion is established for the existence and uniqueness of $$(\omega ,Q)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>ω</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> -periodic mild solutions to the Hopfield-type neural network model.