Abstract Let $$\mathbb {F}G$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mi>G</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> denote the group algebra of a locally finite group G over the infinite field $$\mathbb {F}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>F</mml:mi> </mml:math> with $$\mathop {\textrm{char}}\nolimits (\mathbb {F})\ne 2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtext>char</mml:mtext> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>≠</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , and let $$\circledast :\mathbb {F}G\rightarrow \mathbb {F}G$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>⊛</mml:mo> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mi>G</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> denote the involution defined by $$\alpha =\Sigma \alpha _{g}g \mapsto \alpha ^\circledast =\Sigma \alpha _{g}\sigma (g)g^{*}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>Σ</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mi>g</mml:mi> </mml:msub> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>↦</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>⊛</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>Σ</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mi>g</mml:mi> </mml:msub> <mml:mi>σ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mrow /> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> , where $$\sigma :G\rightarrow \{\pm 1\}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>σ</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mo>±</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>}</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> is a group homomorphism (called an orientation) and $$*$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mrow /> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> is an involution of the group G . In this paper we prove, under some assumptions, that if the $$\circledast $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mo>⊛</mml:mo> </mml:math> -symmetric units of $$\mathbb {F}G$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mi>G</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> satisfies a group identity then $$\mathbb {F}G$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mi>G</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> satisfies a polynomial identity, i.e., we give an affirmative answer to a Conjecture of B. Hartley in this setting. Moreover, in the case when the prime radical $$\eta (\mathbb {F}G)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>η</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> of $$\mathbb {F}G$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mi>G</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> is nilpotent we characterize the groups for which the symmetric units $$\mathcal {U}^+(\mathbb {F}G)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>U</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> do satisfy a group identity.