For the generalized surface quasi-geostrophic equation <disp-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartLayout Enlarged left-brace 1st Row 1st Column Blank 2nd Column a m p semicolon partial-differential Subscript t Baseline theta plus u dot nabla theta equals 0 comma in double-struck upper R squared times left-parenthesis 0 comma upper T right-parenthesis comma 2nd Row 1st Column Blank 2nd Column a m p semicolon u equals nabla Superscript up-tack Baseline psi comma psi equals left-parenthesis negative normal upper Delta right-parenthesis Superscript negative s Baseline theta in double-struck upper R squared times left-parenthesis 0 comma upper T right-parenthesis comma EndLayout"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" side="left" displaystyle="true"> <mml:mtr> <mml:mtd/> <mml:mtd> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi mathvariant="normal">∂</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mi>θ</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∇</mml:mi> <mml:mi>θ</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace width="1em"/> <mml:mtext>in </mml:mtext> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd/> <mml:mtd> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi mathvariant="normal">∇</mml:mi> <mml:mo>⊥</mml:mo> </mml:msup> <mml:mi>ψ</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace width="1em"/> <mml:mi>ψ</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi>θ</mml:mi> <mml:mspace width="1em"/> <mml:mtext>in </mml:mtext> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> <mml:mo fence="true" stretchy="true" symmetric="true"/> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\begin{equation*} \left \{ \begin {aligned} &amp; \partial _t \theta +u\cdot \nabla \theta =0, \quad \text {in } \mathbb {R}^2 \times (0,T), \\ &amp; u=\nabla ^\perp \psi , \quad \psi = (-\Delta )^{-s}\theta \quad \text {in } \mathbb {R}^2 \times (0,T) , \end{aligned} \right . \end{equation*}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </disp-formula> <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="0 greater-than s greater-than 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">0&gt;s&gt;1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, we consider for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="k greater-than-or-equal-to 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">k\ge 1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> the problem of finding a family of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="k"> <mml:semantics> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">k</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>-vortex solutions <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="theta Subscript epsilon Baseline left-parenthesis x comma t right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>θ</mml:mi> <mml:mi>ε</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\theta _\varepsilon (x,t)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> such that as <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="epsilon right-arrow 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>ε</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">→</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\varepsilon \to 0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> <disp-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="theta Subscript epsilon Baseline left-parenthesis x comma t right-parenthesis right harpoon with barb up sigma-summation Underscript j equals 1 Overscript k Endscripts m Subscript j Baseline delta left-parenthesis x minus xi Subscript j Baseline left-parenthesis t right-parenthesis right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>θ</mml:mi> <mml:mi>ε</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">⇀</mml:mo> <mml:munderover> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:munderover> <mml:msub> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> <mml:mi>δ</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>ξ</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\begin{equation*} \theta _\varepsilon (x,t) \rightharpoonup \sum _{j=1}^k m_j\delta (x-\xi _j(t)) \end{equation*}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </disp-formula> for suitable trajectories for the vortices <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="x equals xi Subscript j Baseline left-parenthesis t right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>ξ</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">x=\xi _j(t)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. We find such solutions in the special cases of vortices travelling with constant speed along one axis or rotating with same speed around the origin. In those cases the problem is reduced to a fractional elliptic equation which is treated with singular perturbation methods. A key element in our construction is a proof of the non-degeneracy of the radial ground state for the so-called fractional plasma problem <disp-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis negative normal upper Delta right-parenthesis Superscript s Baseline upper W equals left-parenthesis upper W minus 1 right-parenthesis Subscript plus Superscript gamma Baseline comma in double-struck upper R squared comma 1 greater-than gamma greater-than StartFraction 1 plus s Over 1 minus s EndFraction"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msup> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>γ</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace width="1em"/> <mml:mtext>in </mml:mtext> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace width="1em"/> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\begin{equation*} (-\Delta )^sW = (W-1)^\gamma _+ , \quad \text {in } \mathbb {R}^2, \quad 1&gt;\gamma &gt; \frac {1+s}{1-s} \end{equation*}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </disp-formula> whose existence and uniqueness have recently been proven in Chan, del Mar González, Huang, Mainini, and Volzone [Calc. Var. Partial Differential Equations 59 (2020), p. 42].