For a locally compact Hausdorff space K and a Banach space X , let <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M3"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"><mml:mrow><mml:mi>K</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math> be the Banach space of all X -valued continuous functions defined on K , which vanish at infinite provided with the sup norm. If X is <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M4"><mml:mi>ℝ</mml:mi></mml:math>, we denote <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M5"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"><mml:mrow><mml:mi>K</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math> as <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M6"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"><mml:mrow><mml:mi>K</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math>. If <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M7"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">A</mml:mi><mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"><mml:mrow><mml:mi>K</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math> be an extremely regular subspace of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M8"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"><mml:mrow><mml:mi>K</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M9"><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:mi mathvariant="script">A</mml:mi><mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"><mml:mrow><mml:mi>K</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>⟶</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math> is an into isomorphism, what can be said about the set-theoretical or topological properties of K and S ? Answering the question, we will prove that if X contains no copy of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M10"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math>, then the cardinality of K is less than that of S . Moreover, if <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M11"><mml:mrow><mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>&lt;</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M12"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">A</mml:mi><mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"><mml:mrow><mml:mi>K</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math> is also a subalgebra of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M13"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"><mml:mrow><mml:mi>K</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math>, the cardinality of the α th derivative of K is less than that of the α th derivative of S , for each ordinal <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M14"><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math> Finally, if <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M15"><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M16"><mml:mrow><mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>&lt;</mml:mo><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math>, then K is a continuous image of a subspace of S . Here, <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M17"><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math> is the geometrical parameter introduced by Jarosz in 1989: <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M18"><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">inf</mml:mi><mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">max</mml:mi><mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"><mml:mrow><mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>:</mml:mo><mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>:</mml:mo><mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math> As a consequence, we improve classical results about into isomorphisms from extremely regular subspaces already obtained by Cengiz.