Abstract:
Abstract In this article, we evaluate the integral <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:msubsup> <m:mo>∫</m:mo> <m:mrow> <m:mn>0</m:mn> </m:mrow> <m:mn>1</m:mn> </m:msubsup> <m:msubsup> <m:mo>∫</m:mo> <m:mrow> <m:mn>0</m:mn> </m:mrow> <m:mn>1</m:mn> </m:msubsup> <m:msup> <m:mi>x</m:mi> <m:mrow> <m:mi>α</m:mi> <m:mo>+</m:mo> <m:mi>g</m:mi> <m:mo>-</m:mo> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:msup> <m:msup> <m:mi>y</m:mi> <m:mrow> <m:mi>α</m:mi> <m:mo>+</m:mo> <m:mi>h</m:mi> <m:mo>-</m:mo> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:msup> <m:msup> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mn>1</m:mn> <m:mo>-</m:mo> <m:mi>x</m:mi> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>β</m:mi> <m:mo>+</m:mo> <m:mi>k</m:mi> <m:mo>-</m:mo> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:msup> <m:msup> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mn>1</m:mn> <m:mo>-</m:mo> <m:mi>y</m:mi> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>β</m:mi> <m:mo>+</m:mo> <m:mi>ℓ</m:mi> <m:mo>-</m:mo> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:msup> <m:msup> <m:mrow> <m:mo>|</m:mo> <m:mrow> <m:mi>x</m:mi> <m:mo>-</m:mo> <m:mi>y</m:mi> </m:mrow> <m:mo>|</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>2</m:mn> <m:mi>γ</m:mi> </m:mrow> </m:msup> <m:mspace width="0.166667em" /> <m:mi mathvariant="normal">d</m:mi> <m:mi>y</m:mi> <m:mspace width="0.166667em" /> <m:mi mathvariant="normal">d</m:mi> <m:mi>x</m:mi> <m:mo>,</m:mo> </m:mrow> </m:math> $ \int _{0}^{1}\int _{0}^{1} x^{\alpha +g-1}y^{\alpha +h -1}(1-x)^{\beta +k-1} (1-y)^{\beta +\ell -1} |{x -y}|^{2\gamma }\,\mathrm {d}y\,\mathrm {d}x , $ where α > 0, β > 0, γ ≥ 0, and g , h , k , ℓ are positive integers. Explicit expressions of the above integral are derived in simple elementary functions for various values of g , h , k , and ℓ.
Tópico:
Advanced Topics in Algebra
