We study the Cauchy problem for the nonlinear degenerate parabolic equation of second order <disp-formula content-type="math/mathml"> \[ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartLayout Enlarged left-brace 1st Row u Subscript t Baseline equals u white up pointing triangle u minus gamma StartAbsoluteValue nabla u EndAbsoluteValue squared in normal upper Omega equals upper R Superscript upper N Baseline times upper R Superscript plus Baseline comma u left-parenthesis x comma 0 right-parenthesis equals u 0 left-parenthesis x right-parenthesis in upper R Superscript upper N Baseline comma EndLayout"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mtable columnalign="left" rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">△</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">∇</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext>in</mml:mtext> <mml:mspace width="0.3cm"/> <mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext>in</mml:mtext> <mml:mspace width="0.3cm"/> <mml:msup> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> <mml:mo fence="true" stretchy="true" symmetric="true"/> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\left \{ \begin {array}{l} u_t=u\triangle u-\gamma |\nabla u|^2 \ \ \text {in} \hspace {0.3cm} \Omega =R^N \times R^{+}, u(x,0)=u_{0}(x)\ \ \ \ \ \ \ \ \text {in} \hspace {0.3cm} R^{N}, \end {array} \right .</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> \] </disp-formula> and present regularity results for the viscosity solutions.