We investigate mild solutions of the fractional order nonhomogeneous Cauchy problem<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M1"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>, </mml:mo><mml:mi mathvariant="normal" /><mml:mi mathvariant="normal" /><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn></mml:math>, where<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M2"><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn><mml:mo><</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo><</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn><mml:mo>.</mml:mo></mml:math>When<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M3"><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow></mml:math>is the generator of a<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M4"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math>-semigroup<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M5"><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math>on a Banach space<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M6"><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi></mml:mrow></mml:math>, we obtain an explicit representation of mild solutions of the above problem in terms of the semigroup. We then prove that this problem under the boundary condition<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M7"><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math>admits a unique mild solution for each<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M8"><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>C</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">0,1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo><mml:mo>;</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math>if and only if the operator<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M9"><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math>is invertible. Here, we use the representation<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M10"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">∫</mml:mo><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal"></mml:mi></mml:mrow></mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Φ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>x </mml:mi><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>, </mml:mo><mml:mi mathvariant="normal" /><mml:mi mathvariant="normal" /><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn></mml:math>in which<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M11"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Φ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math>is a Wright type function. For the first order case, that is,<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M12"><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:math>, the corresponding result was proved by Prüss in 1984. In case<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M13"><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi></mml:mrow></mml:math>is a Banach lattice and the semigroup<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M14"><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math>is positive, we obtain existence of solutions of the semilinear problem<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M15"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal" /><mml:mi mathvariant="normal" /><mml:mi mathvariant="normal" /><mml:mi mathvariant="normal" /><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal" /><mml:mi mathvariant="normal" /><mml:mi mathvariant="normal" /><mml:mi mathvariant="normal" /><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn><mml:mo><</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo><</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn><mml:mo>.</mml:mo></mml:math>
