Abstract:
We prove the approximate controllability of the following semilinear impulsive evolution equation:<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M1"><mml:mi>z</mml:mi><mml:mi mathvariant="normal">'</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>B</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>F</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>, </mml:mo></mml:math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M2"><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mo>, </mml:mo></mml:math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M3"><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo><mml:mo>, </mml:mo></mml:math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M4"><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>z</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>, </mml:mo></mml:math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M5"><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>, </mml:mo></mml:math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M6"><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1,2</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>…</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo></mml:math>where<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M7"><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo><</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo><</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo><</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo><</mml:mo><mml:mo>⋯</mml:mo><mml:mo><</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo><</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi></mml:math>,<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M8"><mml:mrow><mml:mi>Z</mml:mi></mml:mrow></mml:math>and<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M9"><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow></mml:math>are Hilbert spaces,<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M10"><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>;</mml:mo><mml:mi>U</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math>,<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M11"><mml:mi>B</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:mi>U</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>Z</mml:mi></mml:math>is a bounded linear operator,<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M12"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>F</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo><mml:mo>×</mml:mo><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mo>×</mml:mo><mml:mi>U</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>Z</mml:mi></mml:math>are smooth functions, and<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M13"><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>⊂</mml:mo><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>Z</mml:mi></mml:math>is an unbounded linear operator in<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M14"><mml:mrow><mml:mi>Z</mml:mi></mml:mrow></mml:math>which generates a strongly continuous semigroup<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M15"><mml:mo stretchy="false">{</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">}</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>⊂</mml:mo><mml:mi>Z</mml:mi></mml:math>. We suppose that<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M16"><mml:mrow><mml:mi>F</mml:mi></mml:mrow></mml:math>is bounded and the linear system is approximately controllable on<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M17"><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo></mml:math>for all<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M18"><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math>. Under these conditions, we prove the following statement: the semilinear impulsive evolution equation is approximately controllable on<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M19"><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo></mml:math>.
Tópico:
Stability and Controllability of Differential Equations
