Abstract:
Zhao established a curious harmonic congruence for prime <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p greater-than 3"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p>3</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>: <disp-formula content-type="math/mathml"> \[ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="sigma-summation Underscript StartLayout 1st Row i plus j plus k equals p i comma j comma k greater-than 0 EndLayout Endscripts StartFraction 1 Over i j k EndFraction identical-to minus 2 upper B Subscript p minus 3 Baseline left-parenthesis mod p right-parenthesis period"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:munder> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mstyle scriptlevel="1"> <mml:mtable rowspacing="0.1em" columnspacing="0em" displaystyle="false"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mstyle> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo>≡</mml:mo> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:msub> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>mod</mml:mi> <mml:mo></mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>.</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\sum _{\substack {i+j+k=pi,j,k>0}} \frac {1}{ijk} \equiv -2B_{p-3}(\operatorname {mod} p).</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> \] </disp-formula> In this note the authors extend it to the following congruence for any prime <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p greater-than 3"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p > 3</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and positive integer <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n less-than-or-equal-to p minus 2"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n \le p-2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>: <disp-formula content-type="math/mathml"> \[ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="sigma-summation Underscript StartLayout 1st Row l 1 plus l 2 plus midline-horizontal-ellipsis plus l Subscript n Baseline equals p l 1 comma midline-horizontal-ellipsis comma l Subscript n Baseline greater-than 0 EndLayout Endscripts StartFraction 1 Over l 1 l 2 midline-horizontal-ellipsis l Subscript n Baseline EndFraction identical-to StartLayout Enlarged left-brace 1st Row 1st Column minus left-parenthesis n minus 1 right-parenthesis factorial upper B Subscript p minus n Baseline left-parenthesis mod p right-parenthesis 2nd Column a m p semicolon if 2 does-not-divide n comma 2nd Row 1st Column minus StartFraction n Over 2 left-parenthesis n plus 1 right-parenthesis EndFraction n factorial upper B Subscript p minus n minus 1 Baseline p left-parenthesis mod p squared right-parenthesis 2nd Column a m p semicolon if 2 vertical-bar n period EndLayout"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:munder> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mstyle scriptlevel="1"> <mml:mtable rowspacing="0.1em" columnspacing="0em" displaystyle="false"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mi>l</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>l</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mo>⋯</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>l</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>l</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>⋯</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>l</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mstyle> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>l</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>l</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>⋯</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>l</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo>≡</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mtable columnalign="left left" rowspacing=".2em" columnspacing="1em" displaystyle="false"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>!</mml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:msub> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mtext>mod</mml:mtext> </mml:mrow> <mml:mspace width="thickmathspace"/> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mtext>if </mml:mtext> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>∤</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>!</mml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:msub> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>mod</mml:mi> <mml:mo></mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mtext>if </mml:mtext> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo>.</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> <mml:mo fence="true" stretchy="true" symmetric="true"/> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\sum _{\substack {l_{1}+l_{2}+\cdots +l_{n}=pl_{1}, \cdots ,l_{n}>0}} \frac {1}{l_{1}l_{2}\cdots l_{n}}\equiv \begin {cases} -(n-1)!\ B_{p-n} (\textrm {mod}\; p) & \text {if $2\nmid n$},\\ -\frac {n}{2(n+1)}\ n!\ B_{p-n-1}\ p\ (\operatorname {mod} p^2) &\text {if $2|n$}. \end {cases}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> \] </disp-formula> Other improvements on congruences of harmonic sums are also obtained.
Tópico:
Advanced Mathematical Identities
