Abstract:
We discuss results regarding global existence of solutions for the critical generalized Korteweg-de Vries equation, <disp-formula content-type="math/mathml"> \[ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="u Subscript t Baseline plus u Subscript x x x Baseline plus u Superscript 4 Baseline u Subscript x Baseline equals 0 comma x comma t element-of double-struck upper R period"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:msup> <mml:mspace width="thinmathspace"/> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace width="1em"/> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace width="thinmathspace"/> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>.</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">u_t+u_{xxx}+u^4\,u_x=0,\quad x,\,t\in \mathbb {R}.</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> \] </disp-formula> The theory established shows the existence of global solutions in Sobolev spaces with order below the one given by the energy space <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper H Superscript 1 Baseline left-parenthesis double-struck upper R right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">H^1(\mathbb {R})</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, i.e. solutions corresponding to data <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="u 0 element-of upper H Superscript s Baseline left-parenthesis double-struck upper R right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">u_0\in H^s(\mathbb {R})</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="s greater-than 3 slash 4"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">s>3/4</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, with <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-vertical-bar u 0 double-vertical-bar Subscript upper L squared Baseline greater-than double-vertical-bar upper Q double-vertical-bar Subscript upper L squared"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo fence="false" stretchy="false">‖</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mo fence="false" stretchy="false">‖</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mo fence="false" stretchy="false">‖</mml:mo> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:msub> <mml:mo fence="false" stretchy="false">‖</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\|u_0\|_{L^2}>\|Q\|_{L^2}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, where <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper Q"> <mml:semantics> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">Q</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is the solitary wave solution of the equation.
Tópico:
Advanced Mathematical Physics Problems
